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% 定义说明环境样式
\newtheoremstyle{mystyle}% 说明环境样式的名称
  {1em}% 上方间距
  {1em}% 下方间距
  {\normalfont}% 说明内容的字体样式
  {}% 缩进量
  {\bfseries}% 说明标记的字体样式
  {.}% 说明标记和说明内容之间的标点
  {1em}% 说明标记后的水平空间
  {}% 说明标记后的垂直空间
% 使用新定义的样式创建说明环境
\theoremstyle{mystyle}
\newtheorem*{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{7.3 习题}
\maketitle

\section*{7.3.1}

如果$\sum \limits_{n=m}^\infty$收敛，那么由命题7.3.1可知，存在一个实数M使得
\begin{align*}
  \sum \limits_{n=m}^N b_n \leq M
\end{align*}
又由题设可知，对任意的$n \geq m$均有$|a_n| \leq b_n$，所以，
\begin{align*}
  \sum \limits_{n=m}^N |a_n|  \leq \sum \limits_{n=m}^N b_n \leq M
\end{align*}
由此可知，$\sum \limits_{n=m}\infty a_n$绝对收敛。


由命题7.2.9 可知，
\begin{align*}
  \big|\sum \limits_{n=m}^\infty a_n\big| \leq \sum \limits_{n=m}^\infty |a_n|
\end{align*}

不妨设，$\sum \limits_{n=m}^\infty b_n$的部分和为$S_N$，
$\sum \limits_{n=m}^\infty |a_n|$的部分和为$S_N^\prime$。

因为对任意$N$都有$S_N \geq S_N^\prime$，所以，两个序列的极限满足，
\begin{align*}
  \sum \limits_{n=m}^\infty b_n \geq \sum \limits_{n=m}^\infty |a_n|
\end{align*}

\section*{7.3.2}

$\bigstar |x| \geq 1$时，

显然，$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^n$是发散的，
由推论7.2.6（零判别法）可知$\sum \limits_{n=1}^\infty x^n$是发散的。

$\bigstar |x| < 1$时，

此时级数的部分和为
\begin{align*}
  S_N = \sum \limits_{n=0}^N x^n = \frac{1-x^{N+1}}{1-x}
\end{align*}
现在只需证明序列$(S_N)_{N=0}^\infty$的收敛性。

因为$\lim \limits_{N \rightarrow \infty} 1-x^{N+1} = 1$（为了逻辑的清晰性，一些显然的结论，会省略掉）

由极限定律（定理6.1.19）可知，
\begin{align*}
  \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S_N & = \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \frac{1-x^{N+1}}{1-x} \\
                                          & = \frac{1}{1-x}
\end{align*}

\section*{7.3.3}

反证法， 假设存在自然数$k$，此时$a_k \neq 0$。

由命题7.2.14可知，
$\sum \limits_{n=k+1}^\infty |a_n|$收敛于某个实数$x(x \geq 0)$；

再次利用命题7.2.14可知，
\begin{align*}
  \sum \limits_{n=0}^\infty |a_n| & = \sum \limits_{n=0}^k |a_n| + \sum \limits_{n=k+1}^\infty |a_n|
\end{align*}

因为$a_k \neq 0$，所以$|a_k| > 0$，于是$\sum \limits_{n=0}^\infty |a_n| \geq |a_k| + x > 0$，
这与题设矛盾。

\end{document}